In sfârşit, paradoxul lui Russell

Pentru a dovedi inconsistenţa teoriei naive a mulţimilor, Bertrand Russell consideră o mulţime ceva mai specială, anume mulţimea tuturor mulţimilor ce nu se conţin ca element. Vom nota cu R această mulţime, pe care o vom numi în continuare mulţime Russell. Evident, pentru R există doar două posibilităţi: să se conţină sau să nu se conţină ca element.
Să vedem ce se întâmplă cu mulţimea lui Russell în fiecare din aceste două situaţii:
1 − dacă R este în mulţimea R atunci, după modul cum a fost definită mulţimea R, rezultă că
R nu este în mulţimea R ; contradicţie !
2 − dacă R nu este în mulţimea R atunci , după modul cum a fost constituită mulţimea R, rezultă că
R este în mulţimea R ; iarăsi contradicţie !
Prin urmare, noţiunea de mulţime a tuturor mulţimilor este contradictorie, paradoxală.

PS In general după un paradox te afli, ca Nana aseară, în starea paradoxală a celui care aude că prietenul lui are doi gemeni: unul alb şi unul negru... Ei cum... ?